தமிழ் மரபின் அடையாளம் கோலங்களின்

தமிழ் மரபின் அடையாளம் கோலங்களின்
கணிதவியல் இயல்புகள் – ஒரு மீள் பதிவு

முனைவர். திருமதி. அ. பெத்தாலெட்சுமி,
இணைப்பேராசிரியர் மற்றும் துறைத்தலைவர்,
கணினி அறிவியல் துறை,
எம்.வி.எம். அரசு மகளிர் கலைக்கல்லூரி,
திண்டுக்கல்.

திருமதி. இரா. இராஜ இராஜேஸ்வரி,
உதவிப்பேராசிரியர், கணினி அறிவியல் துறை,
எம்.வி.எம். அரசு மகளிர் கலைக்கல்லூரி,
திண்டுக்கல்.

1. முன்னுரை
கோலங்கள் தமிழ் மரபின் அடையாளம். வட இந்தியாவில் ரங்கோலி, கேரளாவில் பூவிடல், ஆந்திரப் பிரதேசத்தில் முக்குலு என பல்வேறு பெயர்களில் அழைக்கப்பெற்றாலும் தமிழில் கோலங்கள் என அழைக்கப்படும் வெண் சித்திரங்கள் சிறப்பியல்புகள் கொண்டவை. குறிப்பாக மார்கழி, தை மாதங்களில் செவிக்கு திருப்பாவை கீதங்களும் கண்களுக்கு பல்வகைக் கோலங்களும் என இயற்கையைக் கொண்டாடுபவர்கள் தமிழர்கள். அது மட்டுமின்றி கோலங்கள் தமிழ் மரபின் ஒரு முக்கிய அங்கமாக விழாக்களிலும் சிறப்பான வைபவங்களிலும் திகழ்கிறது.

கோலங்களோடு விழாக்கள் மட்டுமல்ல சூழலியல் சிந்தனைகளும் சமூகக் கோட்பாடுகளும் இணைந்துள்ளன. பண்டைய காலத்தில் வெண்ணிற அரிசி மாவு கொண்டே கோலங்கள் இழைக்கப்பட்டன. எறும்புகளுக்கு உணவாகவே அரிசி மாவு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. எவ்வாறாகினும் கோலங்கள் இழைக்கப் பெற்ற இல்லங்கள் விருந்தினர்க்கு நல்ல வரவேற்பையும் பொருந்தும் சூழலையும் கொடுக்கும் என்பது விருந்தோம்பலை அறமாகப் போற்றிய தமிழருக்கு நன்றாகவே தெரிந்திருக்கிறது. கோலங்களின் இத்தகைய சிறப்புப் பண்புகள் அரண்மனையைத் துறந்த கௌதம புத்தரைக்கூட இக்கலையைப் பயில வைத்திருக்கிறது [2,3,5]. தமிழ் இலக்கியங்கள் எவ்வாறு கோலங்களை பதிவு செய்திருக்கின்றன என்பது பற்றிக் காண்போம்.

2. தமிழ் இலக்கியங்களில் கோலங்கள்
வெகுசில தமிழ் இலக்கியங்களே கோலங்களுக்கு முக்கியத்துவம் அளித்து பதிவு செய்திருக்கின்றன. பழந்தமிழ் நூல்களான நிகண்டுகளில் கோலங்கள் பற்றிய குறிப்புகள் இல்லை என்று [8] கூறுகிறது. கோலங்கள் பற்றிய குறிப்புகள் காணப்படும் இலக்கியங்கள் நான்கு: நாச்சியார் திருமொழி, கம்பராமாயணம், மீனாட்சியம்மை குறம் மற்றும் குற்றாலக்குறவஞ்சி. சான்றுக்கு சில வரிகள் :
“வெள்ளை நுண்மணல் கொண்டு சிற்றில் விசித்திரப்பட வீதிவாய்த்
தெள்ளி நாங்கள் இழைத்த கோலம் அழித்தியாகிலும் உன்றன் மேல்“
- நாச்சியார் திருமொழி

“தலைமெழுகு கோலமிடு முறை பெறவே
கணபதிவை அம்மே“
- திருக்குற்றாலக்குறவஞ்சி

தமிழர் வாழ்க்கை முறை இயற்கையோடு இணைந்தது; அறிவியலையும் உள்வாங்கியது. அவ்வாறாகில் கோலங்கள் வெறும் வெண்சித்திரங்களா? இல்லை அதையும் தாண்டிய அறிவியல் பரிமாணம் கோலங்களுக்கு இருக்கிறது. கணிதவியலாளர்கள் பலரும் குறிப்பாக மறைந்த சென்னை கிறித்தவக் கல்லூரிப் பேராசிரியர் முனைவர் கிஃப்டசிரோமெனி இது குறித்து செய்த ஆய்வுகள் ஆங்கிலத்தில் உள்ளன. அவரது குழுவினர் மட்டுமின்றி வெளிநாட்டு ஆய்வாளர்களும் கோலங்கள் குறித்த ஆய்வை மேற்கொண்டுள்ளனர் [12]. அவற்றின் மீதான தமிழ் மீள்பதிவு பின்வரும் பத்திகளில்.

3. கோலங்களின் எளிய கணிதவியல் பண்புகள்
புள்ளிகளை ஒரு சட்டகம் ஆகக் கொண்டு ஒரு புள்ளியில் ஆரம்பித்து இடைவிடாது பல புள்ளிகளைக் கடந்து பின்பு அதே புள்ளியில் இணையும் ஒரு கம்பிக் கோலங்களே மூலக் கோலங்கள். மற்ற கம்பிக் கோலங்கள் காலப் பரிணாம வளர்ச்சியில் மூலக் கோலங்களில் மாற்றம் கண்டவை. இந்த ஆய்வு மூலக் கோலங்களை மட்டுமே மையமாகக் கொண்டது.

பெரும்பாலான கோலங்களின் முக்கியக் கூறு கணிதவியல் பண்பான (Symmetry) சமச்சீர்மை ஆகும். இக்கோலங்களை 90º , 180º, 270º கோணங்களில் சுழற்சி செய்தாலும் மாற்றங்கள் எதுவுமில்லை. புள்ளிக் கோலங்களின் அடிப்படை அலகு (Basic Unit) கம்பிகளின் முடிச்சு. கணிதவியலில் ஒரு வளைவரையான (Curve) Folium of Descartes - ஐ (படம் 1) ஒத்து இருக்கிறது. இதன் சமன்பாடு.
x3 + y3 – 3axy = 0 ஆகும்.

படம் -1

3.1 கோலங்களும் கோட்டுருக்களும்
ஒரு கோலத்தை கோட்டுருவாகவும் (Graph) கொள்ள முடியும் [11]. ஒரு கோலத்தில் உள்ள கம்பிக் குறுக்கிடல்களை புள்ளிகளாகவும் (Vertices) அவற்றை இணைக்கும் கோடுகளைக் கம்பிகளாகவும் (edges) கொள்ளலாம்.


கோலம் இணையான கோட்டுரு
படம் -2

இவற்றை ஆராயும் போது ஒரு ஆச்சரியத்தக்க உண்மை தெளிவாகிறது. பெரும்பாலான ஒரு கம்பிக் கோலங்களுக்கு சமமான கோட்டுருக்கள் எல்லாமே ஆய்லரின் கோட்டுருக்களாகவே [6] உள்ளன.

3.2. புள்ளிகளும் கம்பிகளும்
கணிதவியலில் பல வகை வளைவரைகள் இருப்பதைப் போலவே பல்வகை கோலக் குடும்பங்களும் உள்ளன. உதாரணங்கள் ஆசனப்பலகை, மிட்டாய்ப்பெட்டி, பாரிஜாதம் போன்றவை. இவ்வகைக் குடும்பங்களில் அடிப்படைப் பாங்கு (Basic Pattern) ஒன்று இருக்கும். அதிலிருந்து பெரிய கோலங்களை உருவாக்கிக் கொள்ள முடியும்.
இவற்றில் மிட்டாய்ப்பெட்டி என்றழைக்கப்படும் கோலக் குடும்பத்தைச் சோ்ந்த ஒரு கோலத்தை (படம்-3) முதலில் ஆராயலாம். இந்தக் கோலம் பின்வரும் பொதுவான விதிகளுக்கு உட்பட்டதாய் அமைந்துள்ளது.
1. ஒவ்வொரு கோலமும் புள்ளிகள், கம்பிக் குறுக்கிடல்கள் (Crossings) மற்றும் கம்பிக் குறுக்கிடல்களை இணைக்கும் கம்பிகள் (Edges) கொண்டதாய் இருக்கும்.
2. கோலக் கம்பிகளால் வரையறுக்கப்பட்ட எல்லா வெளிக்குள்ளும் ஒரே ஒரு புள்ளி மட்டுமே இருக்கும்.
3. ஒவ்வொரு குறுக்கிடலிலும் சரியாக நான்கு கம்பிகள் இருக்கும்
இந்த சிறிய கோலத்தின் எளிய பண்புகளைப் பற்றி முனைவர் கிஃப்ட் சிரோமெனி [8] பின்வருமாறு வரையறுத்துள்ளார். புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையை a எனவும் கம்பிக் குறுக்கிடல்களின் எண்ணிக்கை c எனவும், கம்பிகளின் எண்ணிக்கையை e எனவும் எடுத்துக் கொள்வோம்.

படம் -3

படத்தில் காணப்படும் கோலம் மேலே சொல்லப்பட்ட கணிதவியல் பண்புகளை நிரூபிக்கிறது. மேற்சொன்ன மூன்று விதிகளை இசைவு செய்யும் கோலங்கள் எல்லாவற்றுக்குமே மேலே நிரூபிக்கப்பட்ட கணிதவியல் பண்புகள் பொருந்தும்.

3.3 கோலத்தை எளிதாக்கும் கணிதம்
தாமரை மலரை ஒத்த தோற்றத்தை உடையது இருதயக் கமலம் என்னும் பெயர் கொண்ட கோலம். மிகவும் சிறப்பான கோலம் எனப் பெயர் பெற்றது. பார்வைக்கு மிக சாதாரணமாகத் தோன்றினாலும் அங்கேயும் இருக்கிறது கணிதம். பொதுவாக அறியப்பட்ட இருதயக்கமலம் எனும் கோலம் எட்டுக் கரங்களையும், ஒவ்வொரு கரத்திலும் ஐந்து புள்ளிகளையும் கொண்டது.

இவற்றை மீள்செய்தல் (repetition) எனும் முறைப்படி வரைவதற்கு ஒரே ஒரு (Tracing sequence) சுவடு தொடர் தான் [9] தேவைப்படுகிறது. அந்தத் தொடர் <1> ஆகும். அதைப் பின்வரும் சித்திரங்கள் காட்டும்.

படம் -4

வரைவதற்கும் நினைவில் கொள்வதற்கும் கடினமான இந்தக் கோலம் கணிதத்தால் எளிதாக இருக்கிறது.
4. கோலங்களும் ஃபிபோனசை எண்களும் (Fibonacci Numbers)
கணிதவியலின் தனித்துவம் மிக்க எண்களில் ஒரு வகை ஃபிபோனசை எண்கள். 0,1,1,2,3,5 ..... என்பது சிறப்புமிக்க ஃபிபோனசை தொடர். இதன் வரையறை பின்வருமாறு: இந்தத் தொடரின் முதல் இரண்டு உறுப்புகள் 0,1. இதில் மற்ற எந்த உறுப்பை எடுத்துக் கொண்டாலும் அது அதற்கு முந்தைய இரு உறுப்புகளின் கூட்டுத் தொகைக்கு சமமானதாக இருக்கும். கணிதவியலின் மொழியில் சொல்ல வேண்டுமென்றால்
Fn = Fn -1 + Fn -2,
ஆரம்ப மதிப்புகள் F0 = 0, F1 =1 என்பதாக இருக்கும். இவை இயற்கையோடும் இயைந்த எண்கள் ஆகும். இயற்கையின் பல படைப்புகள் ஃபிபோனசை எண்களோடு தொடர்புடையதாகவே இருக்கின்றன.
(உ.ம்) பூ இதழ்கள்.
பெரும்பாலான பூ இதழ்களின் எண்ணிக்கை [1] ஃபிபோனசை எண்களாவே உள்ளன. இவற்றோடு மட்டும் நின்றுவிடவில்லை. ஃபிபோனசை எண்கள் கோலங்களோடும் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. பெரும்பாலான தமிழகக் கோலங்கள் 5x5, 8x8, 13x13 என்று ஃபிபோனசை எண்களையே ஒத்துள்ளன. இத்தகைய கோலங்களில் பின்வரும் நான்கு விதிகளுக்கு உட்பட்ட கோலங்களை ஆய்வு செய்து அவற்றின் கணிதவியல் கூறுகளைப் பின்வருமாறு கூறியிருக்கிறார் பேராசிரியர் எஸ். நாரணன் அவர்கள் [13]:
விதி 1 : கோலங்கள் சதுர மற்றும் செவ்வக சட்டகங்களைக்
கொண்டதாக இருக்க வேண்டும்.
விதி 2 : 90◦, 180◦, 270◦ கோணச் சுழற்சிகளால்
கோலங்களுக்கு மாற்றம் ஏற்படக் கூடாது
விதி 3 : கோலக் கம்பிகளுக்கிடையேயான வெளியில்
கட்டாயம் ஒரு புள்ளி இருக்க வேண்டும்.
விதி 4 : ஒரு கம்பிக் கோலமாக இருக்க வேண்டும்
ஏதேனும் நான்கு தொடர் பிபோனசை எண்களை எடுத்துக் கொள்ளவும். Q = (a, b, c, d) (உ.ம்) (2,3,5,8). இவை பின்வரும் தொடர்பைக் கொண்டிருக்கின்றன. bc = b2 + ab, d2 = a2 + 4bc. இவற்றின் நிரூபணங்கள் மற்றும் மேலும் பல கணிதச் செய்திகள் [13] aaகட்டுரையில் உள்ளன.
அதாவது bxc என்ற செவ்வகக் கோலம் b2 என்ற சதுரக் கோலம் மற்றும் axb என்னும் செவ்வகக் கோலத்தைக் கொண்டிருக்கிறது. அதே போன்று d2 என்னும் சதுரக் கோலம் a2 என்னும் சிறு சதுரக் கோலத்தையும் நான்கு bxc செவ்வகக் கோலங்களையும் கொண்டிருக்கிறது.
(உ.ம்)

52 = 12 + 4 (2x3) 3x5 = 32 + 2x3
படம் -5
இதை கணிதவியல் குறியீட்டு முறைப்படி Fn-2F n-1 = F2 n-2+ F n-3 F n-2 (n >2) எனவும் F2 n = F2 n-3+ 4 F n-2 F n-1 எனவும் வரையறுக்கலாம்.
ஃபிபோனசை எண்களை அடித்தளமாக்கி கொண்டு கோலங்களை பிறப்பாக்கும் புதிய படிமுறை (algorithm) இதோ :
படி : 1. ஏதேனும் ஒரு ஒற்றைப்படை எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளவும்.
(உ.ம்) n=9
படி : 2. ஃபிபோனசை எண்களை α=0 முதல் எண்ணாகவும் அடுத்த எண் β =1 என்றும் ஆரம்பித்து ஒற்றைப்படை எண் வரை
(n=9) உருவாக்க வேண்டும்.
படி : 3. n புள்ளிகளை உருவாக்கி கொண்டு அதில் ஃபிபோனசை
எண்களை நிரப்ப வேண்டும்.
படி : 4 தொடங்குக.
படி : 5 முதல் மூன்று புள்ளிகளை எடுத்துக் கொண்டு (ஃபிபோனசை
எண்கள் 0,1,1) நடுவில் ஃபிபோனசை எண் 0 வை (புள்ளி 1) வைத்து இரண்டு புறமும் புள்ளிகள் 2 மற்றும் 3யை இணைக்கவும்.
படி : 6. இதே போல் அடுத்த மூன்று புள்ளிகளை தோ்வு செய்வதற்கு
முதல் புள்ளியாக முன்பு எடுத்த மூன்றாவது புள்ளி இருக்க வேண்டும் (உ.ம்) (3,4,5). இதற்கு ஒவ்வொரு புள்ளியின் ஃபிபோனசையின் மதிப்பையும் முந்தையப் புள்ளியின் மதிப்பிலிருந்து கழிக்க வேண்டும்.
படி : 7. கடைசி வரை இதே போல் செய்யவும்.
மேலே சொல்லப்பட்ட படிமுறையை செயல்படுத்தி, n=9 என்ற
மதிப்பிற்கு பின்வரும் கோலங்கள் கிடைக்கிறது.

இலைக்கோலம் பூக்கோலம்
படம் – 6

இவை கணிதவியலின் கூறுகள் மட்டும் அல்லாது கணினி அறிவியலில் காணப்படும் கூறுநிலை செய்நிரலாக்கத்துக்கும் (modular programming) சான்றாக விளங்குகின்றன. அதாவது ஒரு பெரிய மென்பொருள் சிக்கலை எவ்வாறு பகுத்து சிறு சிறு சிக்கல்களாக்கி அவற்றைத் தீர்ப்பதன் மூலம் மொத்த தீர்வை அடையலாம் என்னும் கருத்தாக்கத்துக்கு உதாரணமாக இவற்றைக் கொள்ளலாம்.
அடுத்து கணினி அறிவியலின் அடித்தளமான முறையமைவு மொழிகளுடன் (Formal Languages) கோலங்கள் எப்படி தொடர்புள்ளதாக உள்ளன என்று ஆராயலாம்.

5. கோலங்கள் பேசும் சித்திர மொழிகள்
1950 களில் நோவாம் காம்ஸ்கி மொழியியலில் ஒரு மறுமலர்ச்சியைக் கொண்டு வந்தார். பேச்சுமொழிகளை(Natural Languages ) நவீன கணித முறைகளின்படி வரையறுத்தார். கணினி பயன்பாட்டிற்கான மொழிகளுக்கான இலக்கணங்களையும் முறையாக வகுத்து அவற்றை அடித்தளமாகக் கொண்டு முறையமைவு மொழிகளின் (Formal Languages ) படிமரபை ( Hierarchy) ஸ்தாபித்தார். ஒரு முறையமைவு மொழி என்பது வார்த்தைகளை உறுப்பினர்களாகக் கொண்டது. இதில் வார்த்தைகள் என்பது எழுத்துக் கணத்தில் (Alphabet) உள்ள உறுப்பினர்களைக் கொண்டு ஒரு முறையமைவு இலக்கணத்தின் விதிகளுக்கு உட்பட்டு உருவாக்கப்பட்ட சரங்களாகும் (Generated strings ). (உ.ம்) L = { anbn / n ≥ 1}
இங்கே எழுத்துக் கணம் Σ = {a>b}. இம்மொழியின் சில வார்த்தைகள் ab>
a2b2, a3b3. இவை ஒரு பரிமாணம் கொண்டவை. இவற்றை இரு பரிமாணங்களுக்குக் கொண்டு செல்லும் போது சித்திரமொழிகள் உருவாகின்றன.
சித்திரமொழி என்பது சித்திரங்களை உறுப்பினர்களாகக் கொண்ட ஒரு கணமாகும். இதில் சித்திரம் என்பது எழுத்துக்களால் ஆன ஒரு இரு பரிமாண அணியாகும். (உ.ம்) L = { / வலது / { a^ {n>n} / n> 0 } இடது /} இந்த சதுரங்களின் மொழி a a என்னும் எழுத்தால் ஆனது. இதில் உள்ள சில சித்திரங்கள்

a a a a a a
a a a a a
a a a

இந்த மொழிகளை உருவாக்கும் இலக்கணங்களுக்கு அணி இலக்கணங்கள் என்று பெயர் (array grammars). இந்த சித்திர மொழிகளை கோலங்களோடு இணைத்து பல ஆய்வுகள் [7,10] மேற்கொள்ளப்பட்டு வந்திருக்கின்றன. அவற்றில் ஒன்றை மட்டும் இங்கே பார்க்கலாம்.
கோலங்களில் பலவகைக் குடும்பங்கள் உள்ளன. அதில் சிறப்பான ஒன்று கிருஷ்ணரின் சதங்கை. அக்கோலக்குடும்ப உறுப்பினர்கள் சில பின்வருமாறு:.

படம் -7
மேலே சொல்லப்பட்ட கோலங்களை சித்திர மொழிகளோடு ஒப்புநோக்கி பின்வரும் முடிவுகளைக் கூறியிருக்கிறது ஒரு ஆய்வு [12]. முதலில் சில குறியீடுகளைப் பார்க்கலாம்.

வெற்றிடம்
A B C

இந்தக் குறியீடுகளை எழுத்துக் கணமாகக் கொண்டு கோலச்சித்திரங்களை பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்.

அதாவது Σ = {A>B>C}
A B A B
A C A
B A B
படம் -8
இரு பட வரிசைகளையும் (படம் -7 மற்றும் படம் -8) ஒப்பு நோக்குகையில் கோலங்களுக்கும் சித்திரமொழிகளுக்குமான இணைவு தெரிகிறது. இவற்றின் பயன்பாடு பாங்கு கண்டறிதல் (Pattern Recognition) மற்றும் கணினி வரையம் (Computer Graphics) துறைகளில் உள்ளது. இவ்வகைக் கோலங்களை இடிஓஎல் சுழற்சி இலக்கணம் கொண்டும் [14] உருவாக்க முடியும். இவை மட்டுமின்றி குலக்கொள்கை (Group theory), போன்ற இன்னும் பல துறைகளோடும் தொடர்புடையனவாக உள்ளன கோலங்கள். கோலங்களையும் கணிதவியலையும் இணைத்த இந்த ஆய்வின் நிறைவாக சில வரிகள்.

6. முடிவுரை
முந்தைய பத்திகளில் ஆராயப்பட்ட கோலங்களின் கணிதவியல் பண்புகள், கோலங்களை கணினி முறையில் பதிவு செய்யவும் உருவாக்கவும் பயன்படும் [14]. அது மட்டுமின்றி கலாச்சார மாற்றத்தால் தமிழகத்தின் பாரம்பரிய முகம் மாறிக்கொண்டிருக்கிறது. அதிலும் குறிப்பாக பெருநகரமாக மாறியிருக்கும் தமிழகத் தலைநகர் சென்னையில் கோலமிடும் முறை அரிசிமாக்கோலத்திலிருந்து சுண்ணாம்பு பொடிக்கோலம், ஒட்டுக்கோலம் என்று கோலம் சார்ந்த உயிர்ப்பு குறைந்து கொண்டே வருகிறது. நவீன மேலாண்மை உத்தியான பணிவெளியிடக் கொடுத்தல் (Outsourcing) என்ற முறை இல்லத்தின் முன் கோலமிடும் பணியிலும் நுழைந்து விட்டது. இச்சூழலில் மரபுகள் அழியாது காக்கப்பட வேண்டியவை. அடுத்த தலைமுறையினருக்கு அர்த்தத்தோடு விட்டுச் செல்லப்பட வேண்டியவை. இந்தப் பணியை கம்பீரமாக எழுந்திருக்கும் புதிய தமிழக சட்டசபைக் கட்டிடம் [4] செவ்வனே செய்கிறது. பாரம்பரியமும் நவீனமும் கலந்து நிற்கும் அக்கட்டிடத்தில் அமைந்துள்ள பொதுவெளியில் (Public Plaza) கீழே படத்தில் கண்டுள்ள கோலத்தின் பதிவுகள் 2300 சதுர அடியில் காணப்படுகின்றன. மேலும் இவ்வளாகத்தின் நுழைவாயில் அருகே உள்ள உலோகத் திரையில் 10,000 சதுர அடி கோலப்பதிவுகளால் அலங்கரிக்கப்பட்டுள்ளது.

படம் -9

இது அடுத்த தலைமுறையினர் பாரம்பரியக் கோலங்களை அவற்றின் அழகியல் மதிப்புகள் (aesthetic values) தாண்டி கணிதச் சுவை சேர்த்து மீள்பார்வை (review) செய்ய உதவி செய்யும். எனவே தமிழ் மரபின் அடையாளமான கோலங்கள் பற்றிய இந்த ஆய்வு ஒரு ஆரம்பப் புள்ளியே. இது தொடர வேண்டும். தொடர்வதால் கிடைக்கும் ஆய்வின் முடிவுகள் நிச்சயம் தமிழ் மரபின் அடையாளமான கோலங்களை பதிவு செய்தல் மட்டுமின்றி தமிழர்களின் கணிதவியல் பங்களிப்பு தகவல்களையும் உலகுக்கு வெளிக்கொணரும்.

துணைநூற்பட்டியல்

1. britton. disted. camoscen.bc.ca/fibslide/jbfibslide.ht
2. http://www.ikolam.com/
3. www.manyzone.com/festivals/ pongal
4. http://popupwindow.blogspot.com/
5. en.wikepedia.org/wiki/kolam
6. S. அமானுல்லா, கோல இயல், பாவை பப்ளிகேஷன்ஸ், பக்கம்.43, டிசம்பர் 2007.
7. Dr. Gift Siromeny et al “Array languages and Kolam”, Computer Graphics and Image Processing, 1974.
8. Dr.Gift Siromeny, South Indian, Kolam Pattern, Kalakshhetra Quarterly Vol. 1, No1. 9-14, April 78.
9. Dr.Gift Siromeny et al., On Understanding Certain Kolam Designs, Second International Conference on Advances in Pattern Recognition and Digital Technique, Indian statistical Institute, Calcutta. Jan. 6-9, 1986.
10. Dr.Gift Siromeny et al., Kambi Kolam and Cycle Grammar, Web Literature.
11. A.S. Ismail et al., Some Applications of Eulerian Graphs, Sutra, International Journal of Mathematics Science Education, Vol. 2, No.2, 1-19,2009.
12. Marcia Ascher, Mathematics Elsewhere : An Exploration of Ideas Across Cultures, Princeton University Press, 2002.
13. Dr. S. Naranan, Kolam Designs based on Fibonacci Numbers Part I : Square and Rectangular Designs, http://www.vindhiya.com/.,
14. R.Narasimhan, A Perspective in Theoretical Computer Science, Commemorative Volume for Gift Siromeny, World Scientific Publishing Co, pvt., Ltd., Singapore. 1989.